Quadratische-Gleichung-Löser

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a ungleich null ist. Ihre Lösungen, auch Wurzeln oder Nullstellen genannt, ergeben sich aus der Mitternachtsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac, ist die Diskriminante. Sie entscheidet schon vor dem Wurzelziehen, welche Art von Ergebnis du bekommst, und ist damit eine schnelle Kontrolle bei Hausaufgaben oder der Analyse eines Modells.

Die Diskriminante lesen

Ist die Diskriminante positiv, schneidet die Parabel die x-Achse zweimal und du erhältst zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist sie null, berührt die Parabel die Achse in ihrem Scheitelpunkt, was eine doppelte Lösung ergibt. Ist sie negativ, trifft die Parabel die Achse nie, und die Lösungen sind ein Paar komplex konjugierter Zahlen der Form p ± qi. Für x² − 3x + 2 = 0 ist D = 9 − 8 = 1, die Lösungen sind also (3 ± 1) ÷ 2, nämlich 2 und 1. Die faktorisierte Form lautet dann (x − 1)(x − 2).

Scheitelpunkt und Form des Graphen

Der Löser gibt außerdem den Scheitelpunkt an, den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel, bei x = −b ÷ 2a. Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ist ein Minimum; ist a negativ, öffnet sie sich nach unten und der Scheitelpunkt ist ein Maximum. Das ist nützlich für Optimierungsaufgaben, etwa die maximale Höhe eines geworfenen Objekts oder den Preis, der den Umsatz maximiert. Die gesamte Mathematik läuft in deinem Browser, deine Zahlen bleiben also privat.

Tipp: Du kannst jede reelle Lösung prüfen, indem du sie in die Gleichung einsetzt – das Ergebnis sollte null sein. Die Summe der Lösungen ist −b ÷ a und ihr Produkt c ÷ a; diese beiden Beziehungen (Satz von Vieta) sind eine schnelle Plausibilitätsprüfung für dein Ergebnis.