Kalkulator równań kwadratowych

Wzór kwadratowy

Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a jest różne od zera. Jego rozwiązania, zwane pierwiastkami lub miejscami zerowymi, dane są wzorem: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Wyrażenie pod pierwiastkiem, b² − 4ac, to wyróżnik (delta). Decyduje on o rodzaju odpowiedzi, zanim jeszcze obliczysz pierwiastek, co daje szybką kontrolę przy rozwiązywaniu zadań domowych lub analizie modelu.

Odczytywanie wyróżnika

Gdy wyróżnik jest dodatni, parabola przecina oś x dwukrotnie i otrzymujesz dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Gdy jest równy zero, parabola dotyka osi w swoim wierzchołku, dając jeden podwójny pierwiastek. Gdy jest ujemny, parabola nigdy nie przecina osi, a pierwiastki to para sprzężonych liczb zespolonych zapisanych jako p ± qi. Dla x² − 3x + 2 = 0 mamy D = 9 − 8 = 1, więc pierwiastki to (3 ± 1) ÷ 2, czyli 2 i 1. Postać iloczynowa to wtedy (x − 1)(x − 2).

Wierzchołek i kształt wykresu

Kalkulator podaje także wierzchołek, czyli najwyższy lub najniższy punkt paraboli, dla x = −b ÷ 2a. Jeśli a jest dodatnie, parabola otwiera się ku górze, a wierzchołek jest minimum; jeśli a jest ujemne, otwiera się ku dołowi, a wierzchołek jest maksimum. Jest to przydatne w optymalizacji, na przykład przy wyznaczaniu maksymalnej wysokości rzuconego przedmiotu lub ceny maksymalizującej przychód. Wszystkie obliczenia odbywają się w przeglądarce, więc Twoje liczby pozostają prywatne.

Wskazówka: każdy pierwiastek rzeczywisty możesz sprawdzić, podstawiając go z powrotem do równania, co powinno dać zero. Suma pierwiastków jest równa −b ÷ a, a ich iloczyn c ÷ a — to dwie zależności (wzory Viète'a), które pozwalają szybko sprawdzić poprawność odpowiedzi.