Калькулятор сочетаний и перестановок

Подсчёт с помощью факториалов

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами?» и строится на факториале. Факториал числа n, записываемый как n!, перемножает все целые числа от 1 до n, а по определению 0! = 1. Факториал показывает, сколькими способами можно расположить в ряд n различных предметов: пять разных книг на полке можно упорядочить 5! = 120 способами. Факториалы растут чрезвычайно быстро, поэтому даже небольшие значения дают огромные количества. Этот калькулятор показывает факториал напрямую, а также использует его в формулах сочетаний и перестановок.

Перестановки (размещения) считают упорядоченные выборки. Выбор r предметов из n, когда порядок важен, использует nPr = n! ÷ (n − r)!. Сочетания считают неупорядоченные выборки, где группа одна и та же независимо от порядка, и используют nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Поскольку каждое сочетание можно упорядочить r! способами, эти две величины связаны соотношением nPr = nCr × r!. Поэтому перестановки всегда больше или равны соответствующим сочетаниям. Виджет разворачивает выбранную формулу под ответом, чтобы вы могли проследить, как именно получен результат.

Когда что использовать

Используйте перестановки, когда порядок важен: места на финише в гонке, рассадка гостей, цифры PIN-кода или порядок песен в плейлисте. Используйте сочетания, когда порядок не важен: номера в лотерее, карты на руках, выбор комитета или начинки для пиццы. Быстрый тест — спросить себя, даёт ли обмен двух выбранных элементов действительно другой результат: если да, это перестановка; если нет, это сочетание. Помните, что r не может превышать n, ведь нельзя выбрать больше элементов, чем существует, и калькулятор проверяет это за вас. Поскольку результаты опираются на стандартные числа JavaScript, очень большие факториалы становятся приближёнными и в конце концов переполняются до бесконечности, но для типичных задач по теории вероятностей, статистике и домашних заданий значения точны и целиком вычисляются на вашем устройстве.